老师：同学们大家好，我是北京四中的数学教师郭伦。今天我们继续来研究实际问题与二次函数。在前面的研究中，我们接触到了面积的最值问题、最大利润问题。今天我们来研究一类，需要先建立平面直角坐标系，把实际问题转化为数学问题，再用相关知识解决的类型。我们来探究一个这样的问题，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面两米时，水面宽4米，水面下降一米，水面宽度增加多少？我们一起来分析一下，如果要求水面下降一米，水面宽度增加多少，我们需要哪些数据？当然就是要知道下降一米后的水面宽度和原来的水面宽度二者做差，就是我们要求的增加量。而在本题中，原来的水面宽度4米是题目的已知条件，那么我们只需要求下降一米后的水面宽度是多少就可以了。
老师：那么我们再来看下降一米后的水面宽度表示这个线段的两个端点在什么曲线上。题目中的第一句话就说了，是抛物线型的拱桥。我们知道二次函数的图像是抛物线，建立适当的坐标系就可以求出这条抛物线所表示的二次函数，进而求出我们要求的水面宽度。那么怎么建立坐标系？求抛物线的解析式更简单些，大家可以思考一下。
老师：有的同学可能提出了这样的想法，我们以表示水面宽度的线段的左端点为坐标系的原点，水平向右为x轴正方向，数值向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系，这样，因为抛物线过原点，所以我们可以把解析式设为y等于as方加bs，这里边有两个待定的系数ab。我们需要带入两个特殊点的坐标，就可以求出这个解析式。这两个点我们可以选抛物线的顶点和与x轴的交点。
老师：这两个点的坐标怎么求？题目中说了，水面宽4米，则OA等于4，而a点位于i轴正半轴，所以a点的坐标就是40。题目中还有一句话说，拱顶距离水面高两米，那么我们就知道p点的纵坐标为2，也就是PM的长是2，而OM的长我们可以通过抛物线的对称性，OA等于4，OM则是OA的一半等于2。这样就确定了p点的横坐标为2，p点的坐标就是2。
老师：二，带入这两点的坐标就可以求出这个抛物线的解析式。有的同学可能还有这样的想法，我们以表示水面线段的右端点为坐标系的原点，水平向右为i轴正方向竖直，向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系。在这种间隙的方法下，由于抛物线过了原点，我们同样可以设解析式为y等于ax方加bx，那么我们也是需要两个特殊点的坐标代入，就可以求出待定系数ab的值。
老师：我们同样选取与i轴的另一个焦点和抛物线的顶点。大家看一看这一次写坐标的时候和上面的有什么不同？这次由于b点在x轴的副半轴上，所以它的横坐标是负的。同样p点的横坐标，由于p点在第二象限，它的横坐标也是负的。我们比较一下这两种间隙方法的相同之处和不同之处，就可以发现，第一种间隙的方法相对来说比较好一些，因为它们的解析式都是相同的。但是在第一种间隙的方法下，p点和a点的坐标都是非负数，而在第二种情形下，它们的横坐标是负数。代入求解一式的时候相对来
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