老师：各位同学大家好，我是来自北京四中的梁威老师。今天我们要学习的内容是角的平分线的性质，它的综合运用。由于我们已经学习过了两个相关的定理，所以我带着大家先来简要的复习回顾一下我们学过的两个定理，是这样说的，第一个定理说的角的平分线上的点到角的两边的距离相等。具体书写的时候，因为OP评分角AOB，还有PD垂直OA和PE垂直OB的条件，所以我们得到了ped等于pe。
老师：第二个定理是这样来说的，角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。在使用第二个定理的时候，我们是这样来书写的，因为PD垂直OA，PE垂直OB，PD等于PE，所以点p在角AOB的平分线上。我们也说过简单的记忆方法是这样的，定理一是已知角分，双锤去推相等，而定理2是已知双锤等距去推角分。那么大家可以先来跟我看这样的一个问题，回顾一下。
老师：我们之前处理过一个这样的题目，三角形ABC，它的角平分线BM和CN交于点p，求证点p到三边ABBC，CA的距离是相等的。不知道大家还有没有印象，我们在处理这个问题的时候是这样来想的，只要过点p，分别向三边去做垂直，标记我们的垂足，那么这样就可以由我们学过的第一个定理，也就是角的平分线的性质得到PD是等于PE的，同时还可以得到PE是等于PF的。那这样我们的三条线段都是彼此相等的，进而就可以得到我们这个题目的结论了。
老师：我们来追问一下点p是不是在角baseed平分线上，当然了，如果在的话，那么说明三角形的三条角平分线会有什么样的关系呢？根据我们前面已经学过的定理，大家可以发现，既然我已经辅助线有了双锤，同时还被证明了有等距，那么应该直接运用定理就得到了角平分线的结论。
老师：所以我们来证明一下，已有了三条线段相等，我们选择需要的两段，就是这里面的PD是等于PF的，再配合上我们辅助线当中做出来的双垂直，那么这样的一组条件就可以直接得到我们的点P。在角baseed平分线上，大家可以在这儿得到一个小小的结论，叫做三角形的三条角平分线交于一点。运用这种类比的想法，我们可以再处理一下以前遇到的另一个类似的问题。大家来看，我们这次要找的是三角形a、bc一组相邻的外角，他们的角平分线焦点也就是这里的BD和CE交于点p。我们想问的是点p到三边的所在直线的距离是否相等，那么之前我们也证过他的思路非常的相像，仍然过点p去向三边所在直线来做垂直标记，锤足我们仍然有角的平分线的性质，得到PF等于PG以及PG等于PH，那么这样三条线段相等，也就证明了点p到三边所在的直线距离是相等的。
老师：既然是类比，我们再次让大家通过类比的想法，也来追问一次，现在的点p是不是也在角BAseed平分线上？如果在的话，那是不是也会说明三角形相邻的两个外角，它们的平分线与第三个内角的平分线也存在特定的关系？我们来看一看，再次使用双锤等距再次可以推出来，我们这里具备一个角平
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