老师：各位同学大家好，我是来自北京四中的梁威老师。今天我们要学习的是角的平分线的性质。第三课时，我们在这节课上会学习一个新的定理，并尝试运用。这个新的定理会和我们之前所学的角的评分线的性质相关，大家不妨先复习一下角的评分线的性质。定理是什么内容？大家来看角的平分线上的点到角的两边距离相等。我们具体来分一下这个定理它的提设和结论。提设是一个点在一个角的平分线上，而它的结论说的是它到脚的两边距离是相等的。很多情况下，我们在研究新的定理的时候，往往可以先尝试兑换已有定理的提设与结论，那么在这里也是一样的，我们交换一下原来这个定理的提示与结论，那么大家能得到什么新的命题，这个命题又是否正确呢？我们一起来看一看具体的问题。
老师：我们把题设和结论对调之后，翻译成数学语言，现在大家来跟我一起读一下。题目已知如图，PD垂直OAPE垂直OBPD等于PE。我们现在要求证的内容是点p在角AOB的平分线上，也就是要证明OP平分角AOB。我们来具体看一下，如果想要证明点p在角AOB的平分线上，这个求证的内容会从何而来，那么大家可以看到，我们可以从全等来推角等，也就是我只要证明了三角形OPD和三角形OPE是全等的，那么利用全等三角形的性质就可以证明一组对应角相等了。
老师：具体来证明一下我们刚才所提到的这个思路，大家可以看到，先由题目已知的两组垂直条件可以得到角PDO和角PEO都是角适度，有了这个前提之后，我们就可以来罗列全等所需要的条件。在直角三角形PDO和直角三角形PEO当中，我们会发现有两组条件是对应相等的，一组是他们的公共编PO等于PO，还有一组是条件当中提出的PD等于PE。注意，由于我们要使用的是斜边直角边的判定定理，所以大家要按照斜边和直角边的顺序来顺次罗列条件。
老师：写完之后我们就可以得到两个三角形全等的结论了，那大家也要注意你标注的理由是什么。全等之后有我们相应的性质定理可以得到，这里面的角POD是等于角POE的，也就说明这个点p确实是在角AOB的评分线上了。有了这样的一个证明步骤，我们也就会发现，当已知的条件是双垂直配合相等的时候，我们可以推得角平分线的结论，正好与我们前两节课所使用到的定理条件结论进行了对调，我们来整理一下新的定理应该如何表述角的内部到角的两边的距离，相等的点在角的平分线上，这是角的平分线的性质。
老师：这一部分内容当中所学习到的第二个定理与第一个定理不同的是，它有一个前提条件叫做在角的内部，那么我们今天也留一个小的思考问题，各位可以想一想看，为什么会有脚的内部这样一个限制条件，如果没有的话又会怎么样？如果在证明的过程当中需要书写这个定理，那么大家看一下它的书写方式。因为PD垂直OA，PE垂直OB，同时PD还等于PE，所以点p在角AOB的平分线上，我们一般可以用这样的方式来帮助自己记忆，叫做双锤等距推角分。我们一起来看例题，
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