老师：各位同学大家好，我是来自南昌市第二中学的高鹏老师，今天我们继续学习对数的运算性质换底公式。首先请大家来回忆一下对数的运算性质。若a大于0，且a不等于一，m大于0，n大于0，b属于r，那么有一以a为底m，n积的对数等于以a为底m的对数，加上以a为底n的对数。第二，以a为底n分之m的对数，等于以a为底m的对数，减去以a为底n的对数。第三，以a为底m的b，次方的对数等于b倍的以a为底m的对数。那么大家平时在用这些公式的时候，一定要注意这些字母的取值范围。好，我们来看一看这三个公式，其实就是把积的运算化为和的运算，章的运算转化为减法运算，而乘方运算转化为积的运算，从而达到了简化运算的效果。这是中国人民银行发行的第三套人民币，其中一二5元、一二5角以及一二5分成为了我们国家的基础货币，任何一个金额都可以由他们来换算。
老师：那么至于为什么用1二5，我们课后可以查一查相关的资料，这个与我们今天学习的换底公式有什么关系？我们先留一个悬念，再看这样一个问题，一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余量约是原来的75%，经过多少年，该物质的剩余量是原来的50%？我们来分析一下这道题设，经过x年后，该物质的剩余量为原来的50%，那么我们就可以列出相应的方程，0.75的x次方等于0.5，转化为对数式，可以得到等于以0.75为底0.5的对数。问题来了，以0.75为底0.5的对数是无法直接求出的。
老师：我们可以观察到题目给出了LOCK2和LOCK3的取值，那么势必要我们建立起他们的关系。而前面学习的运算性质都是在底数一致的前提下进行的，这里却是不同的底。怎么办？我们先看看数学家们都做了一些什么吧。17世纪，数学家们耗费了大量的精力才制作出了自然对数表和常用对数表，看我们通过查表也可以找出lockall和lock3的取值。现在的科学计算器中共用了常用对数和自然对数的按键，同学们课后也可以找一找自己的科学计算器上的这两个按钮。
老师：那么底数不同，所需要的对数表也不同，那可不可以只用一个对数表就实现对数运算？或者说能不能只用一个数为底就可以表示出所有的对数？当时的数学家也有这样的困惑，这也是我们今天要探究的内容。先看探究医，根据对数的定义，你能利用lockon和lock3的值求出以2为底3的值吗？我们可以先假设以2为底3的对数等于x，然后转化为指数式2的x的方等于3，同学们不难发现这两个数都是正数，那么我们同时对它取以10为底的对数，可以得到LOCK2的x方等于LOCK3，也就是x倍的lockout等于lock三。而前面我们假设了以2为底3的对数等于x，从而我们就可以得出x等于lock3除以lock2等于以2为底3的对数。细心的同学会发现，这里以all为底3的对数变成了lock3除以lock2。
老师：这个式子是一个巧合吗？我们不妨进一步探究。以a为
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