老师：同学们好，我是北京市通州区潞河中学的数学老师孙宝英。今天我们继续对整式运算的相关知识进行拓展与应用，希望大家通过本节课的学习，能够对整式运算有更加深入的认识和理解。先让我们一起应用整式运算的知识，来探究一下等式中的规律。观察下列等式，4的平方减去一的平方等于3乘以5。5的平方减去2的平方等于3乘以7。6的平方减去3的平方等于3乘以9。7的平方减去4的平方等于3乘以11。按照这个规律，如果n表示正整数，那么第n个等式是什么呢？先看等号左边，我们发现这是两个数的平方差的形式。仔细观察发现减数的底数是从一开始的连续正整数，它很容易用n进行表示，因此减数就是n的平方。再看被减数，发现被减数的底数都比减数的底数大3，所以被减数就是n加3的完全平方。这样一来，等号左边就能够用n表示为n加3的完全平方，减去n的平方。
老师：再看等号右边是两个数的乘积，并且第一个因数都是3，第二个因数恰好就是等号左边两个底数的和。因此等号右边也可以用n表示出来，即3乘以括号2N加3的和。所以第n个等式为n加3的完全平方，减去n的平方等于3乘以括号2N加3的和。问题还没有结束，还需要我们用学过的整式运算的知识验证一下。先看等号左边n加3的完全平方，减去n的平方等于n的平方，加上6N加上9，再减去n的平方，结果等于6N加9。再看等号右边3乘以括号2N加3的和也等于6N加9，等号左边等于右边。探究完毕，希望同学们在平时解题的时候也能够养成及时检验的好习惯。让我们继续看下面的问题，观察下列等式，将空白部分补充完整。
老师：15的平方等于225=100乘以一乘以括号1+1的和再加上25。25的平方等于625=100乘以2乘以括号2+1的和再加上25。35的平方等于1225=100乘以3乘以括号3+1的和再加上25。那么按照这个规律，55的平方等于3025，可以写成什么样的形式？85的平方又等于多少？我们先来观察等号左边，15的平方，25的平方，35的平方，发现所给的数都是个位上的数字为5的自然数的平方。而计算出的结果最后两位数字都相同，都分别是2和5。
老师：再看2和5前面的数字，发现正是底数的十位上的数字乘以十位上的数字加1。例如225百位上的数字2就等于一，乘以2625百位上的数字6=2，乘以31225千位和百位上的数字一和2可以看成12，它等于3乘以4，而55的平方等于3025，千位和百位上的数字是3和0，如果看成30的话，刚好就是5和6的乘积验证了我们的猜想。由此我们推出85的平方，就应该是先算出8和9的乘积，也就是72，再在72的后面添上2和5，最后得到7225。
老师：再看等号的右边，发现第一个数都是100，然后是乘号乘以的数，是从一开始的连续整数，这个数刚好就是等号右边底数的首位数字。接着又是乘号乘以的是一个括号，里面是两个数的和，而这两个数中的第一个加数刚
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