老师：同学们大家好，我是来自北京市通州区运河中学的刘雅老师，今天和大家学习乘法公式中的平方差公式，一起研究平方差公式有什么特征，怎样运用平方差公式进行运算。首先请大家计算下列个题，请看题。同学们肯定会想到用想学习的数的乘法来计算，这样当然可以算的，第一题等于99，第2题等于396，第3题等于9996，第4题等于249991。我们发现数越大，计算量就越大，计算难度也大幅增加了。那么能不能结合我们所学过的多项式和多项式相乘的知识，探索一种更简便的运算方法。
老师：现在请同学们仔细观察这些算式中的因素有什么共同特征，大家会发现同一道题中的两个因数都接近同一个整十或整百的数，由此，我们可以将上面算式中每个因数进行拆分，凑成整十、整百，加上或减去一个数的形式。例如，11乘以9可以拆分成10+1*10-1，22乘以18可以拆分成20+2乘以20-2，102乘以98可以拆分成100+2*100-2，503乘以497可以拆分成500+3乘以500-3。
老师：下面请同学们观察拆分后的4个算式，请你用语言叙述拆分后的算式的特点，并用符号表示。我们发现拆分后的算式特征是两个数的和与这两个数的差的积。我们用字母a和b分别表示这两个数，得到a加b乘以a减b。接下来，我们运用多项式乘以多项式法则来展开计算，并观察拆分后的算式结果与算式有怎样的关系。第一题，10+1*10-1等于10乘以10-10乘以1+1乘以10-1乘以一。中间两项互为相反数，相加为零，抵消等于10的平方减一的平方。第2题，20+2乘以20-2，等于20乘以20-20乘以2+2乘以20-2乘以2，等于20的平方减2的平方。第3题，100+2*100-2等于100乘以100-100乘以2+2乘以100-2乘以2等于100的平方减2的平方。第4题，500+3乘以500-3等于500乘以500-500乘以3+3乘以500-3乘以3等于500的平方减3的平方。
老师：下面我们把4个算式和结果放在一起展示，可以发现，每个等号左边两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。由此，我们大胆猜想，a加b乘以a减b，等于a方减b方，但是猜想的结论不一定正确，要想说明这个结论是正确的，还需要进行证明。那么你能证明这个结论吗？首先我们利用多项式和多项式相乘的知识进行代数验证，a加b乘以a减b，等于a方减a，b加a，b减b方，中间两项互为相反数，相加为0，抵消等于a方减b方。也就是两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方，差成立。
老师：下面我们从几何图形的角度进行验证。左边的大长方形的长是a加b，宽是a减b，所以黄社区域的面积是a加b，乘以a减b。我们把左边图中的第一区域剪下来，放到它的下面，就组成了右边的图形。这时黄社区域的面积等于边长为a的大正方形面积，减去边长为b的小正方形面积，进而得到a方减b方。
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