老师：同学们大家好，我是来自北京市通州区运河中学的李江涛老师。今天我们一起学习同底数密的乘法。同体数幂的乘法是幂的意义的理解、运用和深化，同时也是学习整式乘法和除法的重要基础，在本章中具有举足轻重的地位和作用。前面我们已经学习了整式的加减法、类比数的运算，我们将要学习整式的什么运算？应该是整式的乘法运算。下面我们就一起探究一下。下面的4个整式中，任选两个构造成乘法运算。你能写出哪些算式？试着将你写出的算式分类，你觉得整式乘法有哪几种类型？我们可以写出以下6种算式或与其等价的形式。试着将写出的算式分类，你觉得整式的乘法有哪几种类型？我们可以把整式的乘法分为三类，第一类，单项式乘单项式。第二类，单项式呈多项式。第三类，多项式呈多项式。今天我们就一起研究单项式乘单项式的一种最基础的运算同底数幂的乘法。在学习新知识之前，我们一起回忆一下密的意义。还记得吗？a的n次方表示的意义是什么？其中a、n、a的n次方分别叫做什么？a的n次方表示n个a相乘，n为正整数，其中a叫底数，n叫指数，a的n次方叫幂。下面请同学们结合密的意义填空结果，用密表示，3的5次方乘以3的平方等于5个3相乘与两个3相乘的积，也就是7个3相乘，等于3的7次方。a的3次方。乘以a的5次方，等于3个a相乘与5个a相乘的积，也就是8个a相乘等于a的8次方。
老师：5的m次方。乘以5的m次方，等于m个5相乘与n个5相乘的积，也就是m加n个5相乘等于5的m加n次方。我们可以得出这样的三组等式，3的5次方乘以3的平方等于3的7次方。a的3次方乘以a的5次方，等于a的8次方。5的m次方乘以5的n次方，等于5的m加n次方。
老师：观察以上三个等式的左右两边底数和指数有什么关系？我们先看底数，第一个等式，左右两边底数都是3，没有改变。第二个等式，左右两边底数都是a，没有改变。第三个等式，左右两边底数都是5，仍然没有改变。我们再看指数，第一个等式，右边的指数7等于左边两个指数5和2的和。第二个等式，右边的指数8等于左边两个指数3和5的和。第三个等式，右边的指数m加n等于左边两个指数m与n的和。所以我们可以得出结论，底数不变，指数相加。我们把这三个等式抽象成一般形式，请同学们大胆的猜想一下，a的m次方乘以a的n次方等于什么？m，n都是正整数？有以上三组具体的等式我们不难得出。猜想的结果为，a的m次方乘以a的n次方等于a的m加n次方MN都是正整数。但是猜想的结果不一定正确，要想说明这个结论是正确的，还需要进行证明。那么你能证明这个猜想吗？实际上，根据幂的意义，a的m次方乘以a的n次方，等于m个a相乘，与n个a相乘的积等于m加n个a相乘，也就等于a的m加n次方。这样我们就证明了我们的猜想是正确的，也就是说，同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。这就是同底疏密乘法的运算性质。文字语言表述为同底数的幂相乘，底数不变，指
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