老师：同学们好，我们这一节课学习变化率问题。世界上变化无处不在，人们经常关心变化快慢问题，如何刻画事物变化的快慢。示例一，很多人都吹过气球，请你思考一下吹气球的过程。随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的越来越慢，你能从数学角度描述这种现象吗？叫气球理想化为标准的球体。球的体积公式为v等于4/3派R3次方。如果将半径r表示为体积v的函数，那么rv就等于4PI放置3V开3次方。
老师：下面给出了当空气容积错从key变到key加1L4，气球的平均膨胀率，RT加1减rk比上t加一解t等于r，t加一解rkey，这里key等于0123，一直到15。同学们注意这里边儿运算结果是rt加1GRK，那么这个结果实际上它指的是rv。这个函数在key和key加一这两点所对应函数值的差，也就是这个函数在竖直方向位移的量的大小。那么同学们下边看这个运算表，那么这个运算是什么意思？同学们注意看，老师跟大家解释一下。
老师：这第一个第一行意思是体积v由0变到1，那么它的平均变化率是，0.62，那么在图上看就是这个这个纵坐标的这个高度，这个高度就是rv，这个函数在0点的函数值和一这一点的函数值的差，反应到图形上，就是这个树枝的超度，或者说卫衣的高度，就是这个边的高度。
老师：第二行它反映的是体积v由一变到2，那它算出来的平均率是0.161，那这个值就是rv这个函数在一这一点的函数值和2这一点对应的函数值的差，那算出来就是这个高度，就是这个。插读。第三行，当VU二变到3，算出来的平均变化率是0.13，那么这个数值反映到什么呢？反映到图形上，就是就是这个高度，就是这个高度，就是这个RV这个函数在2这一点的函数值和3这一点的函数值的差，就是图形上看就是这个高度。那大家再看第4行。
老师：第四行，反应的是v从3变到4，它算出来的值是零点09，那这个值反应到是就是PTV在3G一点的函数值，到是这一点的函数值，算出来就是这个高度，就是这个高度，以此类推。这个高度或者说这个长度它指的是GGV由4变到5，R5减R4这个超度，那么这个超度对应是体积v冲5变到6，就是R6，解RV这个炒读，以此类推。
老师：TGV从体积v从6变到7指的是这个长度，从7变到8指的是这个长度，8变到9指的是这个程度，以此类推。从这个图形里边，同学们可以看出来这个平均变化率，平均变化率v从0变到1，一变到2，2变到33变到44变到55变到66变到77变到8，8变到9，九变到10。这样一直下去，它对应着算出来这个平均变化率，再怎么着，逐步的在变小，逐步的变小，这就反映了随着体积用量的增加，半径的大小在变得越来越慢。
老师：也就是说随着气球容积的变大，气球的，平均膨胀率变形了。那同学们下边思考第一个问题，当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？一般地，类比切比的算法有，平均碰撞率等于半径的
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