老师：同学们好，我是北京市第五中学的数学教师王琦。前两节课我们学习了等差数列的概念和通项公式。本节课我们利用这些知识解决等差数列的求和问题。我们从著名的德国数学家高斯小时候的一个故事讲起。据说，200多年前，高斯的算术老师要求学生们计算1+2+3，一直加到100等于多少。当其他同学还在忙于把这100个数逐项相加的时候，10岁的高斯却迅速算出了正确答案。同学们知道高斯用了什么巧妙的方法吗？原来，高斯发现第一项一和最后一项100加在一起与第二项2和倒数第二项99加在一起和都是101。第3项与倒数第3项也是如此。直到中间两项，也就是第50项和倒数第50项，于是它改变了运算的顺序，将和为101的数凑成一对，两两求和，就得到了50个101相加，从而用101乘以50迅速计算出了5050这个结果。
老师：那么为什么1+100=2+99一直等于50+51？这是巧合吗？你能试着从数列的角度给出解释吗？事实上，如果我们设an等于n，那么123一直到100，也就是A1，A2，A3一直到A100。而高斯的算数老师提出的问题就是求数列an的前100项和的问题。高斯的算法利用的就相当于是A1加上A100等于A2加上A99，一直等于A50加上A51。如果同学们还记得我们上节课证明过的一个结论，就知道这并不是巧合。数列an是一个等差数列，因此下标和相等的两项和是相等的。高斯巧妙地利用这个性质，将不同数的求和问题转化成了相同数的求和问题，从而简化了运算。
老师：你能用高斯的方法计算1+2+3，一直加到101吗？我们仍然将首相与末项凑成一对，第二项与倒数第二项凑成一对。我们发现和都是102，那101项能凑成多少对呢？由于项数101是奇数，只能凑成50对，还会余下一项单独计算。第50对应该是50，加上52，还剩下的一项是51，因此等于50个102相加，再加上51就等于5151。你还能想到其他方法吗？我们可以将前100项首尾配对求和，得到5050，再加上墨向101就等于5151。我们还可以在前面添一项0，转化成项数为偶数的等差数列求和问题，再利用高斯的首尾配对的办法，将0和一百零一配成一对，一和100配成一对。于是这102项我们就可以配成51对，每一对的和都是101，于是就等于101乘以51=5151。
老师：可能同学们还会想出其他方法，这些方法大多都相当于利用了等差数列下标和相等的两项和相等这一性质，将不同数求和转化成相同数求和，从而用乘法运算代替加法运算，提高了运算的效率。下面我们将这种方法推广到一般情况，尝试计算1+2+3，一直加到n。根据前面的经验，项数为奇数和偶数时，解决问题的方法略有不同，所以我们这里对像数的奇偶进行分类讨论。当n为偶数时，我们可以首尾配对，凑成二分之n对，第一对就是1和n，第二对就是2和n减一，第二分之n对就是二分之n和二分之n加1。每一对儿的和都是
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