老师：同学们好，我是北京霍文中学的陈老师。通过前面圆锥曲线的学习，我们学会了用几何的眼光观察与思考，并用坐标法解决问题，感受到了解析几何的魅力和威力。但是有些问题我们并没有彻底解决，比如双曲线的渐进线问题，以及二次函数的图像为什么是抛物线。这节课我们将围绕着这两个问题深入展开探究。首先来看问题一，我们利用信息技术直观给出了y等于正负，a分之b，x是双曲线，a方分之x方减去b方分之y方等于一的渐进线。如何证明？同学们，这是一个有挑战性的问题，因为之前我们很少接触与证明渐进相关的问题，请大家利用所学的知识尝试给出严谨的证明。
老师：过程。中文一同学们，你是如何理解渐进线？我们学过的哪些图像中有渐进线？其实在很多函数的图像中都有渐进线，比如反比例函数、指数函数、对数函数、正切函数等等。我们来看，反比例函数y等于x分之一，该函数在一三象限为单调递减的。当x趋向无穷大时，y无限接近0。对于指数函数y等于2的x次方，当x趋向于负无穷时，y值无限接近0。他们的共性是，从几何角度来看，图像与渐进线逐渐接近，但永不相交。
老师：从代数角度来看，当x接近某个数，这个数一般为无穷，y趋近于某一个定值，如何研究双曲线的渐进线？根据刚才的回顾，很多函数的图像中存在渐进性，我们能否从这个角度考虑同学们？因为双曲线是关于坐标轴对称的图形，所以我们可以把问题聚焦在第一象限的情况。根据双曲线的标准方程，可以把方程通过代数式变形为y等于a分之b倍的根号下，x方减一方。那么这样我们所研究的问题就转化成研究函数y等于a分之b倍的根号下，x方减a方的问题了。
老师：同学们猜测一下，当x去想无穷大事，y如何变化？从定义的角度来看，当x趋向无穷大时，y也趋向无穷大，这样无异于研究渐进线。我们来看反比例的情况，因为反比例函数的结构是分式的结构，当x趋向无穷大时，反比例函数的图像就接近y，等于0gx轴。
老师：那么我们能否通过代数式变形能够便于研究渐进线？同学们，我们考虑把根式中的x提取到根式的外部，原式变形为，y等于a分之b，x乘以根号下一，减去x方分之a方。通过这个式子我们来看，当x趋向无穷大时，x方分之a方无限趋于零，根式无限趋于一，那么原函数就无限趋近于y等于a分之bx了。
老师：同学们，刚才我们通过代数式的变形猜测出了双曲线的渐进性。那么如何衡量一条直线与一条曲线的渐进程度？我们可以采用距离来刻画。以y等于2的x次方为例，只需要取其图像一点，求其到渐进线的距离，研究这个距离的变化趋势就可以了。我们在第一象限内取mx零y0做mq。垂直y等于a分之b，x于q，只需要求出mq的长度就可以。研究双曲线与渐进线的接近程度。为了便于计算，我们可以把m的坐标表述为X0A。分之b倍的根号下X0方，减a方。接下来利用点到直线的距离公式求得mq等于根下a方加b方，分之b倍的X0减去b倍的根号
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