老师：同学们大家好，我是来自北京市第二中学的数学教师付静。今天我们继续来探究直线的一种代数表示直线的两点式方程。在上节课中，我们通过已知直线上一点和直线的方向探究得到了直线的点斜式方程和斜结式方程。那么今天我们继续来研究如何表示出经过两点PEX一y1和P2X二Y2的直线l的方程。
老师：我们先来明确思路，本题中我们已知直线上两点的坐标要表示直线的斜率。相信有的同学会想到，既然我们已经学习过直线的点斜式方程，那么不妨可以先利用直线上两点的坐标表示出直线的斜率k等于Y2减Y1，比上X2减X1，而该式乘一的前提为X1不等于X2，也就是说直线的斜率存在。而当直线斜率存在时，我们可以继续在这两点中任选一点，比如选择PE，将点PE的坐标和直线的斜率带入到点斜式方程，从而得到y减Y一等于Y2减Y1比上X2减X1，再乘以x减X1，而这就是我们要求的直线的方程。
老师：那么该式成立的前提为X1不等于X2，也就是说，我们给定直线上两点的横坐标不相同。那么请同学们想一想，我们能不能把这个方程变形，使得它能更突出的体现我们已知直线上两点坐标的这样的特征。我们看，对于这个方程，我们不妨将其中点的横纵坐标分离开。比如我们可以在等式两侧同时除以Y2减Y1，但这就要求Y2减Y1不等于0。这说明此时不仅要满足X1不等于X2，同时也要满足Y1不等于Y2。而这就说明我们已知直线上两点的横纵坐标都不相同。那么这时我们就可以将这个方程变形为，y减Y1比上Y2减Y1等于x减X1比上X2减X1。而这个表达式则可以更清晰地体现我们已知直线上两点坐标的这样的特征，而这样我们就更好地解决了问题。
老师：一、我们利用这个方程将直线的几何特征进行代数表示，并且将这个方程称为经过两点P1、P2，其中这两点的横纵坐标均不相等的直线l的两点式方程简称两点式。那么请大家想一想，你能否说明直线的两点式方程的几何意义吗？实际上，如果我们已知直线经过两个点，而其中这两点的横纵坐标均不相同，那么此时这条直线的几何特征应当为对于直线上面的任意一点p，那么点p分别与P1和P2两点连线的斜率应当就等于P1、P2这两点连线的斜率。所以，我们抓住这一几何特征，不妨先写出过点P1P和过点P1P2两条直线的斜率，并且使两者相等，从而可以得到y减Y1比上x减X1等于Y2减Y1比上X2加X1。
老师：那么更进一步，请大家观察这个方程，我们看，在该方程中，我们要求x不等于X1，且X1不等于X2，这就说明当已知直线上两点的横坐标不等时，也就是直线的斜率存在时，这个方程则不能表示点PE所满足的横纵坐标之间的关系。所以说，这个方程只能表示直线上除点PE之外的其他点，而不能表示点PE。
老师：那么我们如何建立方程，何以表示直线上的任意点？事实上，如果此时我们令这两点的纵坐标也不相等，那么对于这个方程，我们就可以把方程左侧的分母与右
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