老师：同学们大家好，我是来自北京市第二中学的数学教师付静，今天我们一起来探究直线的一种代数表示直线的点斜式方程。相信在大家之前的数学学习中，直线应当是最熟悉的几何图形之一。在上一节中，我们也探究了直线中一些重要的几何要素，并且知道已知直线上的一点和直线的方向，或者知道直线上的两个点都可以确定一条直线。那么今天我们就来探究如何利用已知的几何要素来表示一条直线。我们先来解决如何表示出过以支点P0X0Y0且斜率为k的直线的方程。
老师：那么首先我们先来明确如何建立直线的方程。所谓直线的方程，其实就是利用已知几何要素的代数形式来表示直线的几何特征，而我们知道直线是由点所构成的图形，因此建立直线的方程就是利用确定直线位置的几何要素来建立直线上任意点的横坐标x与纵坐标y之间所，满足的关系式。
老师：那么如果想利用直线的任意点的几何特征来进行代数表示，我们先要明确直线的几何特征是什么，而尤其一支，此时直线上任意点与已知点连线的斜率应当就等于直线的斜率，所以我们可以将这一关系转化为代数表示。整理为如图，假设点p是直线l上不同于点P0的任意点，那么因为直线l的斜率为k，所以由斜率公式得k等于y减Y0，比上x减X0更进一步。我们可以将该分式整理成整式，就得到y减Y0等于k倍的x减X0，而这就是我们要求的直线的方程。
老师：那么请大家想一想，为什么我们不止步于直线的斜率公式，而想要把它整理成整式？换句话说，直线的斜率公式能否直接表示直线？我们为什么要做变形？很显然，直线的斜率公式是一个分式，所以其中要求分母不为0，也就是x不等于X0。这说明点P0的坐标不能满足这个公式表达的含义，所以该公式也不能表示点P0的横纵坐标之间的关系。
老师：因此这个公式只能表示除点P0外直线l上的其他点，而不能表示点P0，那么我们如何建立直线的方程？可以表示直线l上的任意点，其实如果我们将该分式转化为整式，则没有了这样的限制要求，那么这个整式不仅可以表示直线上除点P0外的其他点，它同时也可以表示点P0的横纵坐标之间的关系。因此这个方程可以表示直线l上的任意点，我们将该方程就称为直线的方程，并且可知直线上任意点的坐标都满足直线的方程。那么更进一步，请大家思考下面一个问题，坐标满足这个方程的每个点是否都在直线l上？换句话说，点的坐标满足直线的方程，它是否一定满足直线的几何特征？我们来验证这个问题。
老师：事实上，如果我们任取一点PE，使得其坐标X1Y1满足这个方程，也就是满足关系式Y1减Y0等于k倍的X1减X0。这时我们要分情况说明，如果X1等于X0时，那么此时该方程的右侧为0，也就是Y1减Y0等于0，所以可得Y1等于Y0。这就说明点P1的坐标与P0的坐标相同，所以可知此时点PE与P0重合。点PE是在直线l上的，那么当值X1不等于X0时，此时我们可将该方程左右两侧同时除以不为0的X
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