老师：同学们好，我是北京市第二十五中学的数学教师苏萌萌。今天我们学习的内容是空间向量运算的坐标表示。在前面的学习中，我们通过空间向量基本定理构建了空间直角坐标系。在空间直角坐标系中，空间向量可以用唯一的有序实数组表示，即空间向量可以用坐标表示。由此，我们把向量的运算转换为数的运算。今天我们就大胆的类比猜想，把向量的坐标运算从平面拓展到空间。
老师：我们来看问题一，有了空间向量的坐标表示，以能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示，并给出证明吗？我们先回顾一下平面向量有哪些运算，没错，平面向量有加法、减法数乘以及数量积的运算，那么这些运算的坐标表示又是什么呢？设平面向量a等于A1，A2，平面向量b等于B1，B2，则向量a加向量b等于A1加B1，A2加B2。向量a减向量b等于A1减B1，A2减B2。Lamda倍的向量a等于LambdaA1，LambdaA2，其中Lambda属于全体实数。向量a乘向量b等于A1，B1加A2，B2。你能类比平面向量运算的坐标表示，猜想空间向量运算的坐标表示吗？类似的，我们设空间向量a等于A1，A2、A3，空间向量b等于B1，B2，B3，猜想向量a加向量b等于A1加B1，A2加B2、A3加B3。向量a减向量b等于A1减B1，A2减B2，A3减B3。lambda倍的向量a等于lambdaA1lambdaA2lambdaA3。向量a乘向量b等于A1，B1加A2，B2加A3B3。
老师：数学结论正确与否需要严格证明，上面我们通过类比猜想得到的结论不一定准确，下面我们进行证明。结合空间向量坐标的定义，我们以空间向量数量积运算的坐标表示为例进行证明。设向量i、j、k为空间的一个单位正交基底，根据向量a的坐标为A1，A2、A3，则向量a等于a一倍的向量i加A2倍的向量，j加a3倍的向量k，同理，向量b等于b1倍的向量i，加b2倍的向量j，加b3倍的向量k。对两个向量进行数量积运算。我们利用空间向量数量积运算的分配律去括号，将式子展开。又因为向量i乘向量i等于向量j乘向量j等于向量k乘向量k等于1，而向量i乘向量j等于向量j乘向量k等于向量k乘向量i等于0。所以向量a乘向量b等于A1B1加A2，B2加A3B3。其他运算的坐标表示可以类似的证明，请同学们课下完成。
老师：由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示完全一致。类似的，我们还可以得到一个空间向量的坐标，等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点的坐标，即设空间中点aA1、A2、A3，点bB1、B2、B3，则向量a、b的坐标为，B1减A1、B2减A2、B3减A3。
老师：我们来看问题二。在前面学习平面向量时，我们知道通过向量的坐标运算可以帮助我们解决平行、垂直等位置关系以及距离等度量问题。那么空间向量的坐标运算是否仍然可以帮助我们解决这些
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