老师：各位同学好，本节课我们继续学习向量的数量机。上节课我们已经学习了向量的数量机的定义、几何意义和性质。本节课我们主要的任务是平面向量数量积的运算率。这是本节课的教学目标、教学重点和教学难点。现在请同学们按下暂停键，用1分钟的时间默写一下向量的数量积的定义，一起来看看你写对了吗？已知两个非零向量a与b，它们的夹角为c特，我们把数量a的模乘以b的模乘以cos，叫做向量a与b的数量积或内积，规定0，向量与任意向量的数量积为0。有两点值得我们关注，一、两个向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量。
老师：两个向量的数量。积是两个向量之间的一种运算，既然是一种运算，该遵循什么样的运算率？下面我们类比实数乘法的运算率，结合向量的线性运算的运算率来探寻两个向量的数量积的运算率。我们知道实数的乘法满换率、结合率和分配率。向量的数乘运算也有3条运算率。现在请你按下暂停键，用5分钟的时间思考一下向量的数量运算是否也满换率、结合率和分配率。思考时请你牢记向量数量积的定义，满换率是显而易见的依据是实数乘法满换率、结合率成立吗？分别计算一下，写出你的结论。
老师：我们来看向量a与b的数量积与c作数乘运算，表示一个与c贡献的向量。b与seed数量积与a作数乘运算，表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，如图，所以结合率在一般情况下是不会成立的。分配率的证明是本节课的难点，在你思考之前，我们给两点提示，第一是数量机的几何e和向量加法的平行四边形法则。第二是本页的三个图形。现在按下手中的暂停键，尝试一下能否在图形中找到等量关系的来源。下面我们利用向量投影证明分配率。任取一点，o做OA等于向量。a，ob等于向量。b，oc等于向量c，o，d等于向量a加b，设向量a，b、a加b与seed夹角分别为c特一、c特2和c特，它们在向量c上的投影向量分别为OA、EO、b、e、o、d、e。与c方向相同的单位向量为e，这时O、a，e等于a的模乘以cosine，seed1乘以e，o，b，e等于b的模乘以cosineSET2乘以1。
老师：o，d，e等于向量a加b的模乘以cos，set乘以1。因为向量a等于向量BD，所以OAE等于BEDE，所以ODE等于OBE加BDE也等于OBE加OAE，这便是等量关系的来源。进而我们用a加b的膜乘以cosinect乘以e来代换向量。ODE用a的模乘以cosinect，e乘以e来代换OAEB的模乘以cosr乘以e来代换OBE。整理可得到一个实数与向量e作数乘，运算的结果是0向量，所以这个实数为0，进而得到a加b的模乘以cosinetheta，等于a的模乘以cosinetheta。再加b的模乘以cosinetheta。在等式的两端同乘seed模，可以得到a加b的模乘以seed，模乘以cosineseed。等于a的模乘以seed，模乘以cosset。一加
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