老师：同学们大家好，我是北京市东直门中学的盛晓燕，今天我就将和同学们共同开启函数的单调性这节课的学习。我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，这样我们就可以通过研究函数的性质获得对客观世界中事物变化规律的认识。那么什么是函数性质？总体而言，函数性质就是变化中的不，变化中的规律性。研究函数性质就是要学会在运动变化中发现规律。同学们，请大家回顾一下初中学习过的一次函数、二次函数和反比例函数，我们是通过什么来研究它们的性质的？同学们说得很好，我们正是通过图像来研究函数的性质的。那么请大家看这几个函数的图像，从中你能发现什么变化中的规律？同学们的回答涉及到了很多不同的方面，比如有关于升降变化的特点，有关于对称的特点，也有关于最高点或最低点的特点等等。那么我们现在重点就来关注图像从左到右升降变化的特点。请大家看第一个图像，从左到右是上升的，所以在区间负无穷到正无穷上，y始终随x的增大而增大。再看第二个函数，在负无穷到-1以及0.2-1这两个区间上，从左到右，图像分别是上升的y随x的增大而增大。而在-1到0.2以及1到正无穷这两个区间上，从左到右，图像分别是下降的y随x的增大而减小。这就是我们今天要共同研究的函数性质。
老师：我们要在初中学习的基础上，用定量的方法来刻画函数值随自变量的增大而增大或减小的变化规律，这就是函数的单调性。同学们，初中我们研究过二次函数，现在我们就以二次函数y等于x方为例。我们知道这个函数在区间负无穷到0上，y随x的增大而减小。请问大家，你是怎样理解y随x的增大而减小的这句话的？你能说说它的数量特征吗？为了让大家更好的思考，我进一步提示一下x增大了。这句话如何用符号语言来表示？而对应的函数值y减小又该如何用符号语言表示？请你观察这个表格，你能给出具体的描述吗？同学们从数值的角度进行了描述，比如，当x从-5增大到-4时，函数值fx从25减小到了16。又比如，当x从-4增大到-3时，函数值fx从16减小到了9。再比如，当x从-3增大到-2时，函数值fx从9又减小到了4。
老师：那请问这样的变化过程你能够写得完吗？很显然，这样的过程无法逐一写完，因为它是无限的。那么你能借助字母符号来归纳一下上述具体数值变化的共同点吗？我们可以用字母符号将上述变化归纳为，只要X1小于X2，就有fx1是大于fx2的。那再请问同学们，这里对两个自变量X1和X2有什么样的要求？直取负无穷到0上的某些数对儿X1，X2是否可以？你能举例说明你的观点吗？同学们发现了，如果只需某些数对X1，X2显然是不够的。我们看这个函数，它在b区间a到b上。我们可以找到，当a小于b，而fa是大于fb的。但是很显然，这个函数在b区间a到b上，y并不是始终随着x的增大而减小。所以只取某些X1，X2显然是不够的。那究竟应该怎么取？有的同学说了，既然取某些不够，那我们就取所有的X1小于X
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