老师：同学们好，我是来自北京市第二十二中学的数学教师马林。前面我们类比等式的基本性质，研究了不等式的基本性质及其证明和应用。那么今天我们来学一个具体的不等式，基本不等式。我们知道乘法公式在代数式的运算中有重要的作用，那么是否也有一些不等式，他们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用，下面我们就来研究这个问题。
老师：在前面的学习中，我们利用完全平方公式得到了一类重要不等式，任意AB属于RA方加b方大于等于2AB，当且仅当a等于b时，等号是成立的。那么请同学们观察这个不等式，它的左边是两个数平方的和右边是这两个数乘积的二倍，我们知道平方结构对这个要求比较高，所以我们是否可以想一想，用一个数字来代替这个平方结构？比如说我们可以用a来替换a方，b来替换b方，那么当然这里要求a与b要是非负数，那么又因为a和b如果是0的话，这个不等式研究起来意义也不大，所以我们要求a和b都大于0，那么对于这个不等式，右边原本是a和b的乘积，那么既然我们用a替换了a方，那么用什么来替换a？所以在这里，特别的我们就用根号a和根号b来分别代替我们刚才上市中的a和b，请同学们想一想，你可以得到怎样的式子？下面我们一起来求解一下。
老师：将根号a和根号b分别替换我们原本a方加b方大于等于2，a，b中的a和b可以得到根号a的平方，加上根号b的平方大于等于2倍的根号a乘根号b，也就是a加b大于等于2倍的根号下a乘b。我们再把这个不等式调过来，就可以得到根号下a乘b小于等于二分之a加b。这时我们就得到一个结论，对于任意的a大于0，b大于0，根号下AB都是小于等于2分之a加b的当，且仅当a和b相等时，等号成立，我们通常称这个不等式为基本不等式。其中二分之a加b叫做正数a和b的算数平均数，根号下ab叫做正数a和b的几何平均数。那么从基本不等式当中我们可以看到，根号ab小于等于1/2加b，表明两个正数的算数平均数应该不小于他们的几何平均数。
老师：好，那么你能不能利用我们前面学过的不等式的性质来去证明基本不等式。在这里大家当然可以去联系我们前面学过的实数比大小，可以用做差比较法来去证明它。那么今天老师要给大家介绍一种新的方法，叫做分析法，分析法是我们数学中一种常用的证明方法，它是一种止果所因的这么一种方法，就是要从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后把你要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件，这个条件可以是已知条件，也可以是我们原来学过的定理、定义、公理等等为止。
老师：那么我们要证明的基本不等式，对于a大于0，b大于0，要想证明根号下AB小于等于1/2加b，只要正2倍，根号下a，b小于等于a加b，那么要证二倍根号下a，b小于等于a加b，只要证二倍根号下ab减a减b小于等于0，那么要证2倍根号下ab减a减b小于等于0。
老师：就是要证负的根号a减根号b
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