老师：同学们好，这节课我们来学习数学方法之归纳与类比。这节课的学习目标，一、理解数学方法之归纳与类比的有关概念和常见类型。二、会求相关合情推理的题目。三、运用数学思想灵活解决相关问题，提高分析和解决问题的能力。下面看合情推理的一般模式。合情推理是指从具体问题、具体素材出发，通过实验归纳推广形成普遍性的命题，或者通过类比联想预见形成普遍性的命题。最后需要证明这节课我们来看其中的归纳和类比。关于归纳类比法的应用故事，春秋时代的鲁国的鲁班曾经被齿形的茅草割破了手，于是他联想到齿形的茅草能割破手，那我想要割断木头的话，是不是也可以用尺形式的工具？于是他发明了句在我国古代的猪皮算经中，勾股定理的特殊形式。二项式展开是系数三角形的发现。面顶棱公式都是基于竖式或图形的。直接观察归纳猜想中获得，如欧拉定里、哥德巴赫猜想、四色问题等。
老师：类比与归纳是数学思想中两种最重要的发现问题与解决问题的方法。下面看归纳与类比法的有关概念。归纳法是指从个别的或特殊的前提条件推导出一般的、普遍性的结论。如果在前提条件中列举了条件的所有情况，而推得的结论称为完全归纳法，这时推得的结论是真实的、正确的。如果在前提中只列举了条件的一部分情况，而推得的结论称为不完全归纳法或枚举法，这时得出的结论未必真实可靠，它只是一种猜想。
老师：这节课我们说的归纳法是指不完全归纳法、类比法有两个或两类对象在某些方面的相同或相似，做出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法。注意，在发明与归纳的推理过程中经常运用到类比。例如，我们依据a乘上a的平方等于a的1+2次方，等于a的三次方，a的二次方乘上a的三次方，等于a的2+3次方，等于a的5次方。依次类推，可以归纳出同底数幂的乘法运算为，a的m次方。乘上a的n次方，等于a的m加n次方，m和n为正整数，a大于0，结合a的平方，除上a的一次方等于a的2.1次方等于a，即上式可类比得出a的m次方除上a的m，n次方等于a的m减n次方Mn为正整数，m大于n，a大于0。
老师：类比法的分类初中常见的类比思想的类型有简化类比、结构类比、降维类比等三大类，它们的实质都是从特殊到特殊的推理。先看简化类比，简化类比是指将圆命题类比的比圆命题更简单的类似的命题，即简化问题的条件和结论。通过类比简化命题的解决思路和方法的启示，寻求圆命题解决思路与方法叫做简化类比。例如，减元类比是指多元问题类比为二元或一元问题。降次类比，将高次问题类比的低次问题，例如，已知x加y等于4，x乘y等于4，求x方加y方的值，这时我们可以把x方加y方改写为x加y和的平方减去2倍的x，y的形式，进而问题得到解决。这个问题是通过仔细观察已知项与被知项之间的关系，将式子的组成结构从已知项中找出相似之处，然后进行延伸，进而得出正确的结论。结构类比是指从已知相的性质与定义等方面加以类比分析，依据结构上的相
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