老师：同学们好，我是来自北京师范大学亚太实验学校的白月星老师，今天我们一起来学习正多边形和圆。首先我们来回顾一下相关的概念，各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，比如等边、三角形、正方形等。观察这些图片，你看到了哪些正多边形？我们看到有正六边形、正三角形、正方形、正十二边形、正八边形。那么随着正多边形的边的增加，正多边形趋近于圆。正多边形是轴对称图形。当边数为偶数时，正多边形也是中心对称图形。圆既是轴对称图形，又是旋转对称图形。正多边形和圆的关系联系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出正多边形。同学们可以先自己画一画图，来看一看和你画出的图是不是一样。
老师：第一行的正多边形是圆，内接正多边形。第二行的正多边形是圆，外切正多边形。把一个圆分成相等的一些弧，就能做出一个正多边形。以正五边形为例，如右图，把圆、o分成相等的5段弧，依次连接各分点，我们得到五边形a、b、c、d、e。那么如何说明这个五边形是正五边形？我们把，题目改成已知，求证已知。如图，圆凹中内接五边形a、b、c、d、e、弧AB等于弧，BC等于弧，CD等于弧，DE等于弧EA求证五边形ABCDE是正五边形。
老师：首先，我们由刚才的这些等弧，根据在同源中相等的弧所对的弦相等得到A、b等于BC等于CD等于DE等于一a。因此，这个五边形的五条边相等，弧BCE等于3倍的弧AB等于弧CDA。在同源中，相等的弧所对的圆周角相等可得角a等于角b。同理，我们可以得到角b等于角c等于角d等于角e。因此这个五边形的五个角也都相等。最终，我们推出五边形a、b、c、d、e是正五边形。由于此五边形的五个顶点都在圆o上，因此我们称五边形a、b、c、d、e是圆o的内接正五边形圆o是正五边形a、b、c、d、e的外接圆，那么我们把它推广到正n边形，只需要把其中的弧BCE等于3倍的弧AB改成等于n，减2倍的弧AB等于弧CDA，也可以推出这个多边形当中的n个角都相等，n条边都相等。因此对于正n边形来说，用此种方法做出的图形也是正n边形。
老师：那么正多边形和圆当中的一些元素有什么样的关系？我们来看此图当中，在接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外界圆的半径叫做这个正多边形的半径。正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。由此我们一起来找出下面正多边形的中心，并标出正多边形的半径，边心锯以及中心角。
老师：同学们先自己标一标，来看一看大家标对了吗？下面我们来思考一个问题，各边相等的多边形是正多边形吗？我们知道，在三角形中，由各角相等可以推出各边相等，各边相等可以推出各角相等。因此对于三角形来说，各边相等它能推出是正三角形。但你对于四边形中，由于菱形它的四条面相等，但是它的四个角不一定相等。因此我们可以得出结论，各边相等的多边形不一定时正多边形。
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