老师：同学们好，我是九江市湖口县第二中学的曹琦老师，很高兴和同学们一起开启今天的数学之旅，让我们一起来学习第三章第一节指数密的拓展。在初中，我们学习了整数指数密给定正数a和正整数n，有a的n次幂等于n个a相乘，a的负n次幂等于a的n次幂分之1，a的0次幂等于一。我们再来观察以下几组指数幂的形式，第一组，a的二次密，a的三次密。第二组，a的发次密，a的负3次逆。第三组，a的1/2次密，a的2/3次密。观察它们的形式有什么相同和不同之处。底数相同，指数不同。再仔细观察他们的指数，你发现了什么？是的，第一组指数是正整数，第二组指数是负整数，它是我们学过的整数指数密。第三组，它们的指数是分数，所以指数密中的指数不一定都是整数。在生活中，其实也有指数是分数的指数密。
老师：我们来看，微甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它所到之处，树木枯萎，花草凋零。经测算，微甘橘的氢氦面积s与年数t满足关系式，s等于S0乘以1.057的梯次幂，其中S0为氢氦面积的初始值。请问经过15.5年，微甘橘的氢氦面积是多少？经过15.5年，微甘橘的氢氦面积可表示为S0，乘以1.057的31/2次幂。公顷数1.057的31/2次幂表示什么含义？这就是我们这节课所要学习的正分数指数密。
老师：我们先来看看课本是如何定义正分数指数幂的。给定正数a和正整数mn大于一，且mn互诉。若存在唯一的正数比，使得b的n次幂等于a的m次幂，则称比为a的n分之m次幂，记作b等于a的n分之m次幂，这就是正分数指数幂。例如，若比的5次密等于2，则比等于2的1/5次密。若t的6次幂等于5的13次幂，则t等于5的13/6次幂。
老师：在刚才提出的问题中，经过15.5年，微甘橘的氢氦面积是S0，乘以1.057的31/2次幂公顷。根据正分数指数幂的定义，我们就可以表示为，若a的二次幂等于1.057的31次幂，则a等于1.057的31/2次密。在正分数指数幂的定义中指出mn互诉，如果mn不互诉，就有。当k是正整数时，分数指数幂a的n分之m次幂。满足a的n分之m次幂等于a的kn分之km次幂。有时为了便于计算，也把a的n分之m次幂写成n次根号下a的m次幂的形式。例如，8的1/2次幂等于根号8=2倍的根号。227的2/3次幂等于3次根号下27的二次幂等于9。
老师：为了使分数指数幂有意义，在指数幂的概念中，总有底数a大于0。相信大家对正分数指数幂有了一定的了解，接下来我们来学以致用。请看例1。把下列各式中的正数b写成正分数指数幂的形式，请同学们先动手坐一坐，做完了吗？我们来看，根据正分数指数幂的定义，我们可以把第一题中写成b等于20到1/5次幂。r题中写成b等于r的5/4次密。第3题中写成b等于3的n分之m次密。第四题中写成b等于派的3n分之9m次密，等于派的n分之3m次密。
老师：刚才我们了解了正
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